やさしい実践機械設計講座

慣性モーメント

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慣性モーメントは、私にとっては難問です。この中には、実際の設計には、まず使用しないだろうと思われる計算式の成り立ちから説明してあります。

都度の導きたいケースにあった公式を引っ張り出してきてパラメーターを入れていくことでも、ほとんどの場合、対応できると思いますが材料力学の時も同じなのですが、どこのパラメーターを変更することにより一番　効率的に要求される条件に近づけられるかと言う場合には、やはり、理論的な部分を理解することが必要となります。

物体の回転運動において慣性モーメントは非常に重要なもので、設計においては、この慣性モーメントと同一の性質をもつものをGD2(ジー・ディスクエア)と呼んで実際の計算を行っている。

慣性モーメント I (Kgf.s^2 m) との関係は

GD^2(Kgf.m^2) = 4 g I で表される

慣性モーメントの計算法

対称形の物体の慣性モーメント形状にはさまざまなものが考えられるが、特別なものを除いて一般にいくつかの基本的な形状、円柱や直方体たどを組合わせて構成されていると仮定し計算する。

1 ) 円柱(円板)

右図に示すような円柱を考え、回転軸を2軸として慣性モーメントを求めることにする。

以下のように記号を用いると

R : 円柱の直径
γ: 回転軸から任意の徴少部分までの距離
I : 円柱の長さ
ψ : 微少部分の位置角
p: 密度
dm : 徴少部分の質量
m : 円柱の全質量
dI : z軸に関する微少部分の慣性モーメント
Iz : z軸に関する円柱の慣性モーメント

γ,ψの徴少分をdγ,dψとして、z軸から距離rにある体積 I・dr・rdψの微笑部分をとれば,

質量dmは、 dm = pIrdrdψ

この徴少部分の慣性モーメントは dI = r2dm = pIr3drdψ したがって円柱全体では、ここに、円柱の全質量は次式で与えられるので m = pπR2I

z軸に関する円柱の慣性モーメントは Iz = 1/2・mR2 以上のように物体の微少部分を考え、その部分の回転軸に関する小さな慣性モーメントを求め、ついで全体にわたってこれを集めれば、すなわち連続体の場合積分すれば、全体の慣性モーメントが求まることになる。

2) 中空円柱

右図に示すような中空円柱の場合、以下のように記号を定めると

R1 : 中空円柱の内半径

R2 : 中空円柱の外半径

微少部分として図示のような薄肉円筒を考えれば、この部分の微少質量は、 dm = 2πplrdr

したがって中空円柱の慣性モーメントこの中空円柱z軸に関する慣性モーメント Izは、円柱の場合と同様にしてx,y軸に関する慣性モーメント Ix, Iy は

3) 直方体

機械装置における回転体は・一般に円柱(板)形状のものが多いが,形鋼や角材など直方体を組合せた形状のものもある。

これらの形状の物体の慣性モーメントを求める場合、その基礎となるのが直方体の慣性モーメントである。

右図において、直方体の中心軸を x ,y, z 軸とし、それぞれの長さを a, b, c とする。この場合、回転軸として x, y, z 軸のいずれを選んでも相対的に同じことになるが、いま z軸を回転軸として、慣性モーメント Iz を求めてみよう。

右図における徴少部分の質量 dmは、物体の密度を ρとしてこの徴少部分と回転軸(Z軸)との距離γは、であるから一方、直方体の全質量 m はしたがって、z軸に関する慣性モーメソトは x, y 軸に関する慣性モーメントIx, Iy は、 Iz と同様な方法によって求めることができるが,もっと簡単に軸の間の相関性を利用して、軸を x→ z 、 z → y 、 y → x に変換し、a → c 、 c → b、 b → c と置きかえれば,軸xに関する慣性モーメント Ixは同様にして