やさしい実践機械設計講座

引張と圧縮(その他の応力)

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引っ張りと圧縮

引張り応力

右のシャンデリアをつっているクサリには、シャンデリアの重みがかかっていますから、この重みに対して切れまいとする応力が生じています。

下図のようなアルミ段付き棒に引張り荷重 P=600kgが作用するとき全長はいくつになるでしょうか?

このような場合は AB間、BC間と断面形状が違うかたまりずつで考えます。

AB間の断面の面積は 30^2 X π / 4 = 706.85mm2 BC間は 15^2 X π /4 = 176.71mm2
アルミの縦弾性係数 E = 0.72 X 10^4kg/mm2 とします。
AB間は長さ 100mm なので P.L / A.E = (600 X 100) / ( 706.85 X 0.72 X 10^4) = 0.0113mm BC間は長さ 200mm なので P.L / A.E = (600 X 200) / ( 176.71 X 0.72 X 10^4) = 0.0943mm 合計 0.0113 + 0.0943 = 0.1056mm の伸びとなリます。

自重を受ける物体

右図のように一様な断面を持った物体(棒)が上からつり下げられていた場合物体の重さは単位体積あたりの重さをγとすれば W = γ.Lである。

この場合外力が加わっていなくとも物体は引張りを受ける。

先端dからxの距離にある断面bにはdb間の重さ σ = γxがかかる。
重さ(応力)は長さに沿って一次的に変化し固定端 cで最大になる。
σ MAXがこの棒の引張り強さに達すれば棒は破断する。
この棒の引張り強さが40kg/mm2 γ=7.86 X 10^-6kg/mm3 とすれば L = σ/ γ なので 40/ 7.86 X 10^-6 = 5.1 X10^6 mm = 5100m となります。

通常の状態の形状では自重は無視してよいほどの応力になります。

引っ張り強度計算例（ネジの強度）

ネジの破壊は右のように二通り発生します。おねじが破断する場合とネジ山が坊主になる場合です。

これは多くの場合十分なめねじ長さが無かったときや、下穴が適正でなかった場合、または材質がもろかった場合などに多く起きます。

左のケースのCASE "A"の強度計算はネジの谷径の断面積でかかる力を割ります。

M10のネジの谷の断面積は8.376^2Xπ/4=55.1mmなので最大許容荷重はこの断面積に材料の降伏点荷重をかけて安全率で割ることとなります。ネジの安全率は通常静荷重 3 、衝撃荷重 12です。

従いM10のネジでSS400のネジであれば降伏点は24Kg/mm2ですから 55.1 X 24 / 3 = 441Kg(静荷重) 55.1 X 24 / 12 = 110Kg(衝撃荷重) がM10の許容荷重となります。並目ねじ寸法表

CASE "B"の場合はやや複雑になります。

下の図に沿って一山あたりの剪断長さを求めます。

AB = (P/2) + (dp - Dc ) tan α / CD = (P/2) + (dc - Dp) tan α とし、オネジのネジ山が剪断破壊する荷重をWB 、メネジのネジ山が剪断破壊する荷重をWNとすると WB = πDc . AB . zτb / WN = πdc . CD . zτn で示される。

ここで z は負荷能力があると見なされる山の数、τb, τnはメネジ、オネジそれぞれの断破壊応力となります。

M10 の有効長さ 10mmとした場合、山数はピッチ 1.5mmなので 10/1.5で6.6 山
AB = (P/2) + (dp - Dc ) tan α = (1.5/2)+(9.026-8.376) X tan 30 = 1.1253
SS400の引張り強さ 400N/mm2ですから上の表より0.5倍とし20.4Kgf/mm2とします。
WB = πDc . AB . zτb = π X 8.376 X 1.1253 X 6.66 X 20.4 = 4023Kgf でネジ山が破断します。
安全係数をかけて 4023 / 3 = 1341Kg(静荷重) 4023 / 12 = 335Kg(衝撃荷重)

次に右のようなケースを考えてみます。

上方向へ1000kgfで引っ張りが生じた場合　4本のボルトで支える場合

単純に1000 / 4　= 250kgf/1本　となります。

ところが外力が横からかかるとすると

ｐ点でのモーメント 1200 x 1000 = 1200000kgf.mm このモーメントをp-a & p-b の距離で割るボルト4本とすると 1200000 / (2 x (15 + 135)) = 4000Kg /1本の引っ張り力が各ボルトに生じます。

圧縮応力

パイスで何かを締めつけるとき材料とバイスにはそれぞれ同じ大きさの応力が生じます。

ほとんどの材質では引張り強さと圧縮強さは同等です。

圧縮強度計算例（キーの面圧と剪断）

1KN・mのトルクがφ50の軸にかかった場合の面圧計算例　（キー長さは50mmとする)

φ50には16X10のキーが適用されますキーにかかる力は 1KN X 1000 / 25 =40KN

キーの受圧面積は10/2X50=250mm2
40KNを250mm2の面で受けるため 40KN / 250 = 160N/mm2
この式を整理すると (4.T)/( t. L . d )

T = トルク、 t = キー高さ (全高)、 d = 軸の直径、 L = キー長さ

(4 X 1KNX1000) / (10 X 50 X 50) = 160N/mm2 （面圧）

剪断方向の面積は16 x 50 =800mm2 40KNを800mm2で剪断力を受ける
40KN / 800 = 50N/mm2

材料をS45Cとした場合降伏点35Kg/mm2、剪断荷重安全率12から 35 / 12 = 2.9Kg/mm2 以下であれば安全と判断します。今回の例では、面圧160N/mm2 = 16.3Kg/mm2、　剪断 50N/mm2=5.1Kg/mm2 ゆえ問題ありとなります。

圧縮、剪断応力（ヒンジ部に働く応力)

ヒンジ部には軸受が通常使用されます。
滑り軸受けの場合下記の式で面圧を計算します。
軸受の場合、単純に面圧のみでなく動く速度も考慮に入れるために通常　軸受メーカーのカタログにはPV値が掲載されていますのでこの範囲内で使用する必要があります

W=141Kgf , d = 12 , L = 12
P= 141 / (12 X 12 ) = 0.98Kgf/mm2

ヒンジ部に使用されるピンには剪断力が右のように働きます。

ピンは２か所で剪断力が働くのでピンの断面積の２倍で応力を受けます。

141 / (　12 ^2. π　/ 4) = 1.25Kgf/mm2

面圧、剪断応力ともSS400の安全率を加味した許容応力

7Kg/mm2に対して問題ないと判断できます。

車輪面圧(圧縮)の計算

この例では、車輪をMC NYLON 平面を鋼として計算する。

荷重 W = 500 Kgf
車輪幅 b = 40 mm
車輪径 d = 100 mm
車輪圧縮弾性比 E1 = 360 Kg/mm^2
MC NYLON 平面圧縮弾性比 E2 = 21000 Kg/mm^2
鋼車輪ポアソン比 γ1 = 0.4
MC NYLON 平面ポアソン比 γ2 = 0.3
鋼接触幅 a = 1.375242248 mm
接触面積 S = 110.0193798 mm^2
圧縮応力 F = 4.544653867 Kgf/mm^2 となる。